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錐体の体積

 中学数学の教科書を見られる機会に   実にくだらぬ本を見てしまった。
恵まれた。

 「円錐体の容器の水が同じ大きさの   円錐体の液体容器など、そう身近にない。怪しげな
円筒を3杯で満たされる」ことから、   バーでカクテルグラスの酒を飲んだあと、湯飲み茶碗
「円筒体の3分の1が円錐体の      の酒を思い出した悪酔いの言わせた台詞に違いない。
体積だ」という。             三角形の面積が同じ底辺、同じ高さを持つ長方形の
 噴飯ものだ。前後逆転、因果転倒の   面積の2分の1だと、くどいほど証明し、応用問題も
詭弁だ。                出して、台形や菱形での適用を繰り返して説明してい
 三角形の面積は係数が2分の1で    る。錐体の体積について同様な証明をしないのは実に
四角形の面積から導かれる。なのに    おかしい。いきなり3分の1を出してもこれを証明せ
立方体の体積の3分の1で錐体の     ず、角柱や円柱でも同じだと話を進める。
体積を導く簡単な説明は無いのか。     これは科学や数学とは言えまい。

 ここで私が幾つかの証明を提示する。
@正方形=真四角の平面体を用意する。この1辺の長さの半分を高さにしたピラミッドを想定する。
これは見慣れたピラミッドよりはかなり扁平です。次に同じ面積を持ち、同様な高さの直方体を想
定する。これは背の低い四角柱です。底面と頂面は同じ正方形です。この底面、頂面に対角線を二
本引きます。これで四角柱を4等分します。ピラミッドの頂点と一致させた場所で直角二等辺三角形
を底辺にした三角柱が4個出来ます。これとピラミッドの形状とを比較して、重なる箇所と重ならな
い場所を考えます。背の低い柱のときの側面の長方形とこれに直交する位置に直角二等辺三角形の頂
面があります。一方、対角線の位置は三角柱のときの側面になりますが。これは上辺が水平、高さは
四角柱の高さの角と一致します。ピラミッドの稜線の位置で三角に切断されています。このような三
角形をしたものが4個、これは三角錐体ですが、その事は保留します。4個の三角錐体の2個を持っ
て、頂面の直角二等辺三角形を向き合わせます。四角柱のとき側面だった長方形はニ個並べて正方
形=ピラミッドの底面になります。
 こうして背の低い四角柱は同じ面積、同じ高さのピラミッド3個に変身しました。四角柱の体積
の3分の1が四角錐の体積です。
A正方形=真四角の平面体を用意する。同じ面積を持ち、同じ正方形の直方体を想定する。これは正
六面体で、正方形を底面と側面にした四角柱、さいころ型です。底面と頂面も周囲の四個の側面も同
じ正方形です。この1辺の長さの半分を高さにしたピラミッドを想定する。これは見慣れたピラミッ
ドよりはかなり扁平です。これを上下反転させて頂点で向き合わせると、二つのピラミッドの夫々の
底面がさいころの上下の面と一致します。向かい合ったさいころの側面にも同様にピラミッドを二個
向かい合わせます。都合6個のピラミッドで隙間なくさいころが埋まります。正六面体の体積は同じ
正方形の1面を底面にし、高さが正方形の面の辺長の半分のピラミッド=四角錘6個分になります。
正六面体の高さを2分の1にした四角柱の体積の3分の1が底面が同じ角柱の体積になります。
 正六面体とせず、縦横高さの異なる任意の直方体でも、縦横高さの2分の一の中央に頂点を置いた
四角錘の体積は6分の1になり、高さを2分の1に変えることで3分の1であることになります。こ
うして任意の底面高さでも3分の1になります。
Bここで、千枚漬けを重ねて、
がばりと食べてしまいましょう。
B本物のピラミッドは高さ2メートほどの四角く切り出された石を何段にも積み重ねてその形を作
り、最後に斜面を平滑に均したそうで、上のほうにはそのときの斜面が残っているそうです。はじめ
から積み重ねる石の高さを低くしてやれば仕上げ斜面はかなり平らになります。左右前後に同じよう
に上段は巾を狭めれば左右前後に対称になります。でも同じように上段の巾を狭めても左右前後にど
ちらかだけに寄せることも出来ます。斜面、稜線が一直線であれば同じ底面、高さも同じとあれば体
積は同じになります。
C厚紙を四角く切ってこれを重ねてピラミッドを造ってみよう。1ミリずつ小さく。3ミリ角、2
ミリ角、最後は1ミリ角。厚紙の面積と枚数と厚みを計算すれば体積がでます。こんどは薄い紙で、
その次はもっと薄い紙で。これを数式で表すと級数と無限を扱いますので、
ガバリエリさんとこのお
弟子さんにお任せしますが、最後には3分の1という係数が出てきます。
D今度はサンドイッチを食べましょう。三角サンドです。2パックよ。
Dさいころを用意します。これを対角線の一本で切断します。直角二等辺三角形を底面とし、高さが
その二等辺の長さに等しい三角柱が出来ます。三角サンドのときは何枚も重ねて、直角二等辺三角形
の二等辺が正方形二面になるようにします。  未完